Alicia en el país de las matemáticas

By 21/12/2020 Portal

«Imagino que ahora mismo te sientes como Alicia, cayendo por la madriguera del conejo», Morfeo, (Matrix, 1999).

Mucho se ha escrito sobre «Alicia en el país de las maravillas» y de como esta obra ha influido, y mucho, en corrientes de pensamiento y obras artísticas de todo tipo que llegan incluso hasta nuestros días.

Su autor, Lewis Carroll, ha pasado a la historia como el escritor de este magistral libro, sin embargo, su vida y obra está plagada de curiosidades y anécdotas como la que sigue.

Cuentan que cuando la Reina Victoria I de Inglaterra —la tatarabuela de la actual Reina Isabel II— leyó «Alicia en el país de las maravillas», le gustó tanto el libro que pidió que le trajeran la próxima obra que escribiera su autor.

Cual fue la sorpresa de la Reina cuando al encontrarse delante del siguiente libro del autor que tanto le gustaba leyó el título:

«An Elementary Treatise on Determinants: with their Application to Simultaneous Linear Equations and Algebraical Geometry».

O, por su traducción al castellano:

«Tratado Elemental sobre Determinantes: con Aplicaciones a Ecuaciones Lineales Simultaneas y Geometría Algebraica».

La cara de la Reina en ese preciso instante debió de ser todo un poema.

Y es que la explicación de este extraño suceso radica en que bajo el pseudónimo de Lewis Carroll se escondía el matemático Charles L. Dodgson.

Además de escribir libros infantiles y de matemáticas escribió un libro muy peculiar: «El juego de la lógica». En dicho libro introduce en forma de juego ideas básicas de lógica proposicional; como por ejemplo, representar proposiciones o extraer conclusiones correctas en base a varias premisas. A continuación presentamos algunas de las ideas básicas de «El juego de la lógica».

Diagrama bilateral

Imaginemos que el diagrama anterior –diagrama biliteral– representa un determinado conjunto o universo, por ejemplo, los libros. Y que tanto x como y son dos atributos diferentes, por ejemplo, x son españoles e y son nuevos. Denotamos con una tilde los atributos opuestos, es decir, x’ son extranjeros e y’ son viejos. Por lo tanto el diagrama anterior particularizado para nuestro ejemplo viene a denotar lo siguiente:

Representación de proposiciones
El autor propuso denotar la existencia de algo con el símbolo I y la inexistencia con el símbolo О. Así podríamos representar la proposición «existen libros extranjeros viejos» como:

O la proposición «existen libros españoles»

O la proposición «no existen libros españoles» como

En este último caso cabría pensar que bastaría con poner un círculo en el medio de la parte de arriba, del mismo modo que el caso anterior, sin embargo en este último caso sabemos que al no existir libros españoles, no los hay ni nuevos, ni viejos. Por el contrario, en el caso anterior al existir libros españoles no sabemos si estos libros son nuevos o viejos o de los dos tipos, por lo que no podemos garantizar la existencia de libros españoles nuevos ni de libros españoles viejos. Es por esto por lo que marcamos la existencia de libros españoles en la parte central de arriba.

Por poner otro ejemplo, la proposición «todos los libros extranjeros son viejos» se representaría como sigue:

Ya que es la combinación de las proposiciones «hay libros extranjeros viejos».

Diagrama triliteral

¿Pero qué ocurre si en lugar de tener dos atributos trabajamos con tres? Imaginemos que el diagrama anterior –diagrama triliteral- representa un determinado conjunto o universo, siguiendo con el ejemplo anterior, los libros. Y que tanto x, como y, como z son tres atributos diferentes, por ejemplo, x son españoles, y son nuevos y z son divertidos. Denotamos con una tilde los atributos opuestos, es decir, x’ son extranjeros, y’ son viejos y z’ son aburridos. Por lo tanto, el diagrama anterior particularizado para nuestro ejemplo viene a denotar lo siguiente:

Así, con esta notación el siguiente diagrama triliteral denota la proposición «existen libros viejos aburridos».

Del mismo modo, el diagrama siguiente representa la proposición «no existen libros españoles divertidos».

Silogismo
Dadas dos proposiciones representadas en un mismo diagrama triliteral podemos obtener una nueva proposición que sea cierta siguiendo unas reglas básicas. La idea es la siguiente, si tengo una premisa que me relaciona el atributo x con el z y otra que me relaciona el atributo y con el z, en algunas ocasiones vamos a poder obtener una nueva premisa que relacione los atributos x e y.

Siguiendo la notación de Dodgson esta deducción consiste en representar dos premisas sobre un diagrama triliteral para obtener una nueva premisa en un diagrama biliteral.

Para llevar a cabo este paso de diagrama triliteral a biliteral primero debemos pensar ambos diagramas en cuartiles. Denotamos por Q1, Q2, Q3 y Q4 los cuartiles de ambos diagramas.

Después tenemos en cuenta las dos reglas siguientes:

Si en las dos casillas de un cuartil del diagrama triliteral aparece el símbolo О, entonces en su correspondiente cuartil del diagrama biliteral escribimos el símbolo О.

Si en una de las casillas de un cuartil del diagrama triliteral aparece el símbolo I, entonces en su correspondiente cuartil del diagrama biliteral escribimos el símbolo I.

Ejemplo de uso
Imaginemos que nos dan las dos premisas que siguen: «todos los libros españoles son divertidos» y «ningún libro viejo es divertido». ¿Qué conclusión podemos extraer de las mismas?

Sus correspondientes diagramas triliterales son:

Que podemos representar en un único diagrama como:

Cuya información podemos pasar a un diagrama biliteral, siguiendo las dos reglas que hemos indicado antes:

Lo cual nos permite concluir que «todos los libros españoles son nuevos».

Un acertijo extra
Además de escribir libros –tanto de matemáticas como literarios– a Lewis Carroll le encantaban los acertijos matemático-lingüísticos como el que sigue:

Dreaming of apples on a wall,

And dreaming often, dear,

I dreamed that if I counted all,

-How many would appear?

¿Podrás resolverlo?

Víctor M. Manero es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española
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El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la comisión de divulgación de la

RSME

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