El problema de Guthrie: el secreto detr√°s de utilizar solo cuatro colores en los mapas

By 17/10/2020 Portal

El uso del color en la cartografía, además de ser un convencionalismo gráfico, es un recurso estético. Por una parte, el simbolismo cromático ha servido para establecer relaciones entre regiones y elementos naturales y, por otra, para diferenciar fronteras entre estados.

Hasta la Edad Media los cart√≥grafos empleaban una simbolog√≠a b√≠blica que ligaba la prenda sacerdotal con los elementos de la naturaleza. As√≠, usaban el blanco para la tierra, el azul para el medio a√©reo, el p√ļrpura para el agua y el rojo para el fuego.

La cartografía histórica renacentista se sirvió de tan sólo cuatro colores para sombrear todo el mapa del Viejo Continente, sin que dos países limítrofes tuvieran el mismo color. Una aplicación práctica que no tenía su correspondencia teórica y que trajo de cabeza a los matemáticos más brillantes durante una centuria.

Todo empezó en 1852 cuando el abogado y botánico sudafricano Francis Guthrie se puso a colorear un mapa de Inglaterra dividido en condados. Observó que era capaz de sombrear el mapa de forma tetracromática -no necesitaba más- y conjeturó que debería suceder lo mismo con cualquier otro mapa geopolítico.

Francis se lo coment√≥ a su hermano Frederick y este a su vez al prestigioso matem√°tico Augustus de Morgan (1806-1871). Fue precisamente este √ļltimo el que reformul√≥ el problema, con un enunciado sencillo y de una apariencia inofensiva pero que, a su vez, encerraba muchas sutilezas: ¬ęDado un mapa cualquiera del plano bastan cuatro colores para colorearlo, de forma que cada pa√≠s tenga un solo color y que pa√≠ses vecinos lleven colores distintos¬Ľ.

En su resoluci√≥n se imponen algunas condiciones, por ejemplo, los mapas son siempre conexos ‚Äďde una pieza- y cada una de sus regiones tambi√©n son conexas, por otra parte, dos territorios distintos no pueden tocarse en un solo punto, para ser colindantes se requiere que compartan una frontera mayor.

La solución llegó del otro lado del Atlántico
De Morgan era toda una autoridad en el campo de las matem√°ticas, fue el primer presidente de la Sociedad de Matem√°ticas de Londres y autor de las leyes fundamentales de √°lgebra de la l√≥gica que llevan su nombre. A priori parec√≠a una persona sobradamente autorizada para resolver el ¬ęproblema de Guthrie¬Ľ, sin embargo, fue incapaz de hacerlo.

Lo puso en conocimiento de otros colegas matemáticos ingleses, quienes también fracasaron en la empresa. Una década después el problema cruzó el océano Atlántico y varios matemáticos estadounidenses se consagraron en cuerpo y alma a su resolución, con resultados igual de insatisfactorios. Fue entonces cuando el problema de los cuatro colores adquirió la entidad de conjetura.

Sabemos que incluso Lewis Carroll se lleg√≥ a interesar por el asunto y desarroll√≥ un juego para dos personas en la que cada jugador dise√Īaba un mapa y el otro deb√≠a colorearlo ajust√°ndose al problema de los cuatro colores.

La soluci√≥n lleg√≥ en 1966, cuando cuatro miembros de la Escuela de Matem√°ticas del Instituto Tecnol√≥gico de Georgia ‚ÄďNeil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour y Robin Thomas- resolvieron matem√°ticamente el problema planteado por Guthrie en el siglo diecinueve.

M.Jara

Pedro Gargantilla es médico internista del Hospital de El Escorial (Madrid) y autor de varios libros de divulgación.