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‘Pipipipiiiii\u2026 pipipipiiiii\u2026 pipipipiiiii\u2026’ Abro los ojos, apago el despertador. Miro la fecha, 27 de enero de 2006. En verdad, la fecha es lo de menos, pero la hora si que es preocupante, 08:24 \u00a1me he quedado dormido! \u00a1y tengo examen de geometr\u00eda lineal en exactamente 36 minutos!<\/p>\n
Me levanto como una exhalaci\u00f3n y empiezo a vestirme, no hay tiempo para una ducha. Mientras me voy vistiendo me preparo un caf\u00e9, para eso siempre hay tiempo, y adem\u00e1s si no me tomo un caf\u00e9 estoy seguro de que el examen no me va a salir muy bien. <\/p>\n
Encima esta lloviendo un poco, \u00bfd\u00f3nde tengo el paraguas? Madre m\u00eda, me ha mirado un tuerto. Tras encontrar el paraguas y coger la mochila, salgo de casa, son las 08:41, creo que he batido un r\u00e9cord. Pero a pesar de la prisa que me he dado parece que voy a llegar tarde, tengo m\u00e1s de 30 minutos hasta la facultad.<\/p>\n
Decido no coger el autob\u00fas, algo me dice que llegar\u00e9 antes si voy corriendo, probablemente no sea una buena idea, pero a mi cerebro, que todav\u00eda est\u00e1 en la cama, le parece que es la mejor opci\u00f3n. Echo a correr. <\/p>\n
Son las 09:19, entro en el aula del examen. El examen ha comenzado. Me acerco al profesor Ra\u00fal Ustegi y me disculpo por llegar tarde. Me dice que como nadie ha abandonado el examen puedo quedarme a hacerlo. Primera prueba superada. Ahora viene la segunda: el examen.<\/p>\n
Un problema\u2026 extra\u00f1o
\nTodav\u00eda con las pulsaciones a tope me siento donde me indica el profesor e intento relajarme con unas cuantas respiraciones profundas. Ya estoy m\u00e1s tranquilo, as\u00ed que, al l\u00edo. Leo la primera pregunta. Es un ejercicio complicado, pero creo que puedo sacarlo. Leo la segunda pregunta. Pide demostrar un teorema, no estoy seguro de acordarme de toda la demostraci\u00f3n, creo que este no me vaya a salir. Leo la tercera pregunta, que dice as\u00ed: <\/p>\n
Ejercicio 3. F\u00edjate en las dos rectas r y s que tienes a continuaci\u00f3n. Dado un punto P exterior a ambas, dibuja la recta que pasa por P y por el punto de corte de ambas rectas.<\/p>\n
Bueno, en principio parece f\u00e1cil, basta con prolongar las rectas r y s para encontrar el punto Q en el que se cortan y despu\u00e9s trazo la recta que pasa por P y Q y\u2026 \u00a1tach\u00e1n! Problema resuelto. Cuando voy a proceder me doy cuenta de que no puedo encontrar el punto de corte de r y s, ya que si bien ambas rectas son claramente secantes (se cortan en un punto), el punto de corte de las mismas queda fuera del folio de mi examen. De hecho, estimo que dicho punto queda como a unos dos metros a mi izquierda, justo sobre el examen de mi compa\u00f1ero Mario. Algo que en principio parec\u00eda muy f\u00e1cil creo que no lo va a ser tanto, hay que ver como se las gasta el profesor Ustegi.<\/p>\n
Vuelvo a leer la pregunta. Sigo un poco alucinado porque m\u00e1s que una pregunta propia de un examen de una asignatura de 2\u00ba de la carrera de matem\u00e1ticas, parece un acertijo, o si me apuras un problema de dibujo t\u00e9cnico. Pero la verdad es que este problema tiene ocultas much\u00edsimas matem\u00e1ticas. <\/p>\n
Una peque\u00f1a ayuda. El teorema de Desargues
\nEl dichoso Ejercicio 3 venia con una peque\u00f1a ayuda, menos mal, y dec\u00eda as\u00ed: este ejercicio se puede resolver utilizando un teorema estudiado en la asignatura. En el examen no se especificaba cu\u00e1l era ese resultado, pero puesto que el lector de estas l\u00edneas no ha tenido porque que cursar la asignatura en cuesti\u00f3n, facilitaremos su labor dici\u00e9ndole que el resultado a utilizar es el Teorema de Desargues. Un famoso teorema de geometr\u00eda proyectiva enunciado en el siglo XVII por el ge\u00f3metra franc\u00e9s Gerard Desargues y que podr\u00edamos formular como sigue:<\/p>\n
\u201cDados dos tri\u00e1ngulos ABC y DEF las rectas AD, BE y CF se cortan en un mismo punto s\u00ed y s\u00f3lo si los tres puntos que resultan de la intersecci\u00f3n de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) est\u00e1n alineados\u201d<\/p>\n
Podemos representar este teorema con el diagrama siguiente:<\/p>\n
Por lo tanto, el resultado en cuesti\u00f3n nos viene a decir que el hecho de que las rectas AD, BE y CF se corten en O, es equivalente a que los tres puntos que surgen de la intersecci\u00f3n de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) est\u00e1n en una recta, que hemos llamado t. <\/p>\n
El reto
\nConocido todo esto, se reta al lector intr\u00e9pido a resolver el ya mencionado Ejercicio 3 utilizando el Teorema de Desargues. A modo de resumen podemos enunciar este reto como sigue:<\/p>\n
\u00abDadas dos rectas r y s que son secantes (pero cuyo punto de corte no es accesible) y dado tambi\u00e9n un punto P exterior a ambas rectas, utiliza el Teorema de Desargues para dibujar la recta que pasa po P y por el punto de corte de las dos rectas r y s\u00bb.<\/p>\n
La soluci\u00f3n a este problema aparecer\u00e1 en la entrada de la pr\u00f3xima semana del ABCdario de matem\u00e1ticas.<\/p>\n
V\u00edctor M. Manero (@pitimanero) es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisi\u00f3n de divulgaci\u00f3n de la Real Sociedad Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (RSME).<\/p>\n
El ABCdario de las Matem\u00e1ticas es una secci\u00f3n que surge de la colaboraci\u00f3n con la Comisi\u00f3n de Divulgaci\u00f3n de la RSME.<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
‘Pipipipiiiii\u2026 pipipipiiiii\u2026 pipipipiiiii\u2026’ Abro los ojos, apago el despertador. Miro la fecha, 27 de enero de 2006. En verdad, la fecha es lo de menos, pero la hora si que es preocupante, 08:24 \u00a1me he quedado dormido! \u00a1y tengo examen de geometr\u00eda line…<\/p>","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[123],"tags":[],"class_list":{"0":"post-33392","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","6":"category-portal"},"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33392","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=33392"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33392\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":33398,"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33392\/revisions\/33398"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=33392"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=33392"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/forocilac.org\/en\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=33392"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}