Un reto muy geométrico

By 01/03/2021 Portal

‘Pipipipiiiii‚Ķ pipipipiiiii‚Ķ pipipipiiiii‚Ķ’ Abro los ojos, apago el despertador. Miro la fecha, 27 de enero de 2006. En verdad, la fecha es lo de menos, pero la hora si que es preocupante, 08:24 ¬°me he quedado dormido! ¬°y tengo examen de geometr√≠a lineal en exactamente 36 minutos!

Me levanto como una exhalación y empiezo a vestirme, no hay tiempo para una ducha. Mientras me voy vistiendo me preparo un café, para eso siempre hay tiempo, y además si no me tomo un café estoy seguro de que el examen no me va a salir muy bien.

Encima esta lloviendo un poco, ¬Ņd√≥nde tengo el paraguas? Madre m√≠a, me ha mirado un tuerto. Tras encontrar el paraguas y coger la mochila, salgo de casa, son las 08:41, creo que he batido un r√©cord. Pero a pesar de la prisa que me he dado parece que voy a llegar tarde, tengo m√°s de 30 minutos hasta la facultad.

Decido no coger el autob√ļs, algo me dice que llegar√© antes si voy corriendo, probablemente no sea una buena idea, pero a mi cerebro, que todav√≠a est√° en la cama, le parece que es la mejor opci√≥n. Echo a correr.

Son las 09:19, entro en el aula del examen. El examen ha comenzado. Me acerco al profesor Ra√ļl Ustegi y me disculpo por llegar tarde. Me dice que como nadie ha abandonado el examen puedo quedarme a hacerlo. Primera prueba superada. Ahora viene la segunda: el examen.

Un problema‚Ķ extra√Īo
Todavía con las pulsaciones a tope me siento donde me indica el profesor e intento relajarme con unas cuantas respiraciones profundas. Ya estoy más tranquilo, así que, al lío. Leo la primera pregunta. Es un ejercicio complicado, pero creo que puedo sacarlo. Leo la segunda pregunta. Pide demostrar un teorema, no estoy seguro de acordarme de toda la demostración, creo que este no me vaya a salir. Leo la tercera pregunta, que dice así:

Ejercicio 3. Fíjate en las dos rectas r y s que tienes a continuación. Dado un punto P exterior a ambas, dibuja la recta que pasa por P y por el punto de corte de ambas rectas.

Bueno, en principio parece f√°cil, basta con prolongar las rectas r y s para encontrar el punto Q en el que se cortan y despu√©s trazo la recta que pasa por P y Q y‚Ķ ¬°tach√°n! Problema resuelto. Cuando voy a proceder me doy cuenta de que no puedo encontrar el punto de corte de r y s, ya que si bien ambas rectas son claramente secantes (se cortan en un punto), el punto de corte de las mismas queda fuera del folio de mi examen. De hecho, estimo que dicho punto queda como a unos dos metros a mi izquierda, justo sobre el examen de mi compa√Īero Mario. Algo que en principio parec√≠a muy f√°cil creo que no lo va a ser tanto, hay que ver como se las gasta el profesor Ustegi.

Vuelvo a leer la pregunta. Sigo un poco alucinado porque m√°s que una pregunta propia de un examen de una asignatura de 2¬ļ de la carrera de matem√°ticas, parece un acertijo, o si me apuras un problema de dibujo t√©cnico. Pero la verdad es que este problema tiene ocultas much√≠simas matem√°ticas.

Una peque√Īa ayuda. El teorema de Desargues
El dichoso Ejercicio 3 venia con una peque√Īa ayuda, menos mal, y dec√≠a as√≠: este ejercicio se puede resolver utilizando un teorema estudiado en la asignatura. En el examen no se especificaba cu√°l era ese resultado, pero puesto que el lector de estas l√≠neas no ha tenido porque que cursar la asignatura en cuesti√≥n, facilitaremos su labor dici√©ndole que el resultado a utilizar es el Teorema de Desargues. Un famoso teorema de geometr√≠a proyectiva enunciado en el siglo XVII por el ge√≥metra franc√©s Gerard Desargues y que podr√≠amos formular como sigue:

‚ÄúDados dos tri√°ngulos ABC y DEF las rectas AD, BE y CF se cortan en un mismo punto s√≠ y s√≥lo si los tres puntos que resultan de la intersecci√≥n de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) est√°n alineados‚ÄĚ

Podemos representar este teorema con el diagrama siguiente:

Por lo tanto, el resultado en cuestión nos viene a decir que el hecho de que las rectas AD, BE y CF se corten en O, es equivalente a que los tres puntos que surgen de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) están en una recta, que hemos llamado t.

El reto
Conocido todo esto, se reta al lector intrépido a resolver el ya mencionado Ejercicio 3 utilizando el Teorema de Desargues. A modo de resumen podemos enunciar este reto como sigue:

¬ęDadas dos rectas r y s que son secantes (pero cuyo punto de corte no es accesible) y dado tambi√©n un punto P exterior a ambas rectas, utiliza el Teorema de Desargues para dibujar la recta que pasa po P y por el punto de corte de las dos rectas r y s¬Ľ.

La solución a este problema aparecerá en la entrada de la próxima semana del ABCdario de matemáticas.

V√≠ctor M. Manero (@pitimanero) es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisi√≥n de divulgaci√≥n de la Real Sociedad Matem√°tica Espa√Īola (RSME).

El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.