Reglas, compases y papiroflexia para cuadrar círculos y contentar a Apolo

By 23/05/2021 Portal

En 430 a.C., un a√Īo antes de la muerte de Pericles, se desat√≥ en Atenas una epidemia de peste que diezm√≥ a la cuarta parte de su poblaci√≥n. Cuenta la leyenda que los atenienses, desesperados, enviaron una delegaci√≥n al or√°culo de Apolo en Delos para averiguar c√≥mo pod√≠an combatir la terrible enfermedad. El or√°culo les respondi√≥ que deb√≠an contentar al dios construy√©ndole un altar de la misma forma que el original, que era c√ļbico, pero de doble volumen que √©ste.

A tal capricho del dios Febo se le conoce como Problema de Delos o Problema de la duplicación del cubo y es uno de los llamados tres problemas griegos o tres problemas clásicos; los otros dos son la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo y los tres acapararon la atención de los más eminentes matemáticos griegos, tanto en el periodo clásico como en el helenístico. La condición que se impuso para resolverlos es emplear tan sólo una regla sin marcar y un compás.

El descubrimiento de los inconmensurables (es decir, de los n√ļmeros irracionales) a finales del siglo VI a.C. se atribuye al pitag√≥rico Hipaso de Metaponto y puso de manifiesto la existencia de magnitudes que no son una raz√≥n entre n√ļmeros naturales, aunque algunas de estas se pueden construir con regla y comp√°s, como el caso de la diagonal de un cuadrado o la bisectriz de un √°ngulo. De aqu√≠ el inter√©s de estos problemas en la Grecia cl√°sica.

Pero como se demostr√≥ veinte siglos despu√©s, ninguno de los tres problemas griegos tiene soluci√≥n en los t√©rminos originales y a pesar de ello, como a menudo sucede en matem√°ticas, los m√ļltiples intentos y aproximaciones movieron un vast√≠simo caudal de investigaci√≥n de cuyas f√©rtiles corrientes emerger√≠an nuevas √°reas que habr√≠an de jugar papeles de primer orden en siglos venideros, como por ejemplo la teor√≠a de curvas algebraicas, de enorme relevancia en la actual teor√≠a de n√ļmeros, criptograf√≠a y teor√≠a de c√≥digos, o la teor√≠a de las c√≥nicas, nuclear en los resultados de Cop√©rnico y Kepler.

La duplicación del cubo
Comencemos con el problema de Delos. La fuente más antigua en la que se menciona es una carta de Eratóstenes (275-194 a.C.) a un tal Ptolomeo (probablemente Ptolomeo III) aunque el compendio más completo acerca de las diversas contribuciones a su resolución es un comentario de Eutocio, ya en el S. V d.C., al tratado Sobre la esfera y el cilindro, de Arquímedes.

Conviene observar que el análogo de este problema en dimensión dos, es decir, la duplicación del cuadrado, sí es resoluble usando tan sólo regla y compás: dado un cuadrado de área A, su lado medirá raíz cuadrada(A), y para duplicar su área es suficiente construír un segmento de longitud raíz cuadrada(2A), que es precisamente la longitud de la diagonal, en virtud del Teorema de Pitágoras.

Quizá la aproximación más antigua sea la de Hipócrates de Quíos (no confundir con Hipócrates de Cos, el celebrado médico), quien redujo el problema a encontrar dos medias proporcionales: así, dado un cubo de arista a y volumen a^3, para encontrar un segmento de longitud x tal que

basta encontrar dos segmentos, de longitud x e y tales que

pues en ese caso se tendr√° que

Seg√ļn hemos mencionado, como producto colateral al estudio de este problema se introdujo la teor√≠a de c√≥nicas. El autor de este enfoque fue Menecmo (375-325 a.C.), que al igual que Hip√≥crates, hab√≠a reducido el problema a dos medias proporcionales. Sin embargo, Menecmo se dio cuenta de que este sistema de medias proporcionales es equivalente a encontrar el punto de corte de dos par√°bolas:

Efectivamente, estas par√°bolas se cortan en el punto

Figura 1: solución de Menecmo a la duplicación del cubo (a = 1).También Eratóstenes se había acercado al problema ideando un dispositivo mecánico, el mesolabio, consistente en un rectángulo rígido ABXY y tres rectángulos congruentes ABFM, NGHQ y RKJT.

El rect√°ngulo ABFM es tambi√©n r√≠gido y los otros dos se pueden desplazar. Si el lado AB del rect√°ngulo fijo se toma como 2a, aplicando varias veces el Teorema de Thales se construye un segmento de longitud a ra√≠z c√ļbica de 2:

Figura 3: mesolabio de Erat√≥stenes.Primero trazamos las diagonales AF, NH y BJ. Llamamos E al punto medio de TJ, de modo que la medida de EJ es a. A continuaci√≥n, desplazamos el segundo rect√°ngulo hasta que NH intersecte al lado MF del primer rect√°ngulo, llamando C al punto de corte. Simult√°neamente, desplazamos el tercer rect√°ngulo hasta que RJ intersecte a QH, llamando D al nuevo punto de corte. Por √ļltimo, desplazamos el segundo y el tercer rect√°ngulos hasta que los puntos A, C, D y E est√©n alineados.

Llamamos O al punto de intersección de AE y BX.

Figura 4: uso del mesolabio.Mediante el teorema de Thales, tenemos:

La trisección del ángulo
Consiste en, dado un ángulo, construir otro cuya medida sea la tercera parte de la medida del primero usando tan sólo regla y compás. El origen de este problema es incierto aunque en todo caso es con seguridad anterior a 399 a.C., fecha de la muerte de Hipias de Elis, quien realizó la aportación tentativa más temprana conocida a su resolución.

A cualquiera que haya seguido un curso básico de Historia de la Filosofía le sonará el nombre de Hipias como uno de los sofistas que pululaban por la Atenas de los Treinta Tiranos ofreciendo al mejor postor su arte de hacer pasar lo malo por bueno. Se dice de él que poseía una memoria prodigiosa y que era el más rico de todos sus colegas de oficio, y también uno de los más presuntuosos. Su figura da nombre a dos de los diálogos Platón (Hipias mayor e Hipias menor), donde entre otras cosas se traza una semblanza de este curioso personaje.

Pero de todos sus sofismas, el que nos interesa aquí es el llevado a cabo para tratar de resolver el problema de la trisección y quizá de la cuadratura, pues como se verá después, más adelante se aprovecharía la contribución del de Elis para tal fin. Se trata de la trisectriz o cuadratriz de Hipias, el primer ejemplo conocido de una curva plana no circular. Esta curva se define dinámicamente de la siguiente manera:

Supongamos un cuadrado de vértices A, B, O y C. Imaginemos que el segmento AB se desplaza en paralelo hacia abajo hasta solaparse con el segmento OC y ello con velocidad constante.

Imaginemos también que a esa misma velocidad se va rotando el segmento OA en sentido de las agujas del reloj hasta que este se superpone igualmente a OC. Entonces, en cada instante, los dos segmentos (el paralelo a AB, que en la figura es A1B1 y la rotación de OA, que es OP’) se cortarán en un punto P. Pues bien, el lugar geométrico de todos estos puntos de corte a medida que se mueven estos dos segmentos conforme avanza el tiempo es la curva de Hipias.

Figura 2: trisectriz de Hipias.Esta curva resuelve el problema de la trisección: dado el ángulo OP’C delimitado por los segmentos OP’ y OC, consideremos el punto P de corte del segmento OP’ con la trisectriz. Dibujamos el segmento A1C, que corta a BC en B1 y dividimos el segmento CB1 en tres partes iguales. Sea una de ellas el segmento CG. Construimos el segmento FG que corta a la trisectriz en el punto U y así, por cómo se define la trisectriz, el ángulo OUS mide la tercera parte del ángulo de partida.

La cuadratura del círculo
En este caso se trata de, dado un c√≠rculo de radio R (y por tanto de √°rea ŌÄR^2), construir un cuadrado del mismo √°rea empleando, como anteriormente, s√≥lo regla y comp√°s. Mediante el teorema de Thales se demuestra que es equivalente a cuadrar el c√≠rculo de radio R = 1.

Si hemos de creer a Plutarco, el fil√≥sofo Anax√°goras (500-428 a.C.) se ocup√≥ de este problema durante su estancia en prisi√≥n a consecuencia de la ca√≠da en desgracia de Pericles, su disc√≠pulo y amigo. Aunque Hip√≥crates de Qu√≠os hab√≠a resuelto satisfactoriamente el problema de la cuadratura de algunas l√ļnulas con regla y comp√°s, los primeros intentos directos documentados de soluci√≥n de la cuadratura del c√≠rculo se deben a Din√≥strato (390-320 a.C.) y Arqu√≠medes (287-212 a.C.)

El primero, cuenta Proclo, utiliz√≥ la curva de Hipias, el segundo, la espiral llamada ‘de Arqu√≠medes’ en su honor. No diremos nada sobre el m√©todo de Din√≥strato pero remitimos al lector a la detallada descripci√≥n en ‘A History of Mathematics’ de U. Merzbach, C.B. Boyer (p√°gina 87).

Figura 3: cuadratura de Din√≥strato.En cuanto al m√©todo de Arqu√≠medes, se encuentra en su tratado Sobre la medici√≥n circular y consta de dos partes: en primer lugar, demuestra que el √°rea de un c√≠rculo es igual al √°rea de un tri√°ngulo rect√°ngulo con el radio del c√≠rculo como uno uno de sus catetos y la tangente a la circunferencia como el otro. Con este resultado el problema de cuadrar el c√≠rculo, es decir, de construir un segmento de longitud raiz cuadrada de ŌÄ con regla y comp√°s, se reduce a construir un segmento de longitud ŌÄ. A continuaci√≥n, demuestra que la circunferencia de un c√≠rculo es mayor que 3+10/71 y menor que 3+10/70 del di√°metro. Este resultado, que da estos dos n√ļmeros como aproximaci√≥n a ŌÄ permite una soluci√≥n aproximada al problema, con regla y comp√°s.

Se sigui√≥ trabajando en este problema en la Edad Media y en el Renacimiento. Destacan, en √©poca medieval, el trabajo ‘De quadratura circuli’, de Franco de Lieja (S. XI) y las contribuciones de Nicol√°s de Cusa y Juan Regiomontano (siglo XV). En la Edad Moderna, Leonardo da Vinci se ocup√≥ del problema, y tambi√©n Snellius y Huygens, los fundadores de la √≥ptica geom√©trica. Este √ļltimo lo estudi√≥ en su tratado De circuli magnitudine inventa, donde refina la aproximaci√≥n a ŌÄ dada por Arqu√≠medes.

En suma, a finales del siglo XVIII el problema se hab√≠a revestido de una aureola de prestigio, en parte debido a lo sencillo de su formulaci√≥n y en parte debido a todos los nombres ilustr√≠simos que se hab√≠an dejado la piel en el camino a lo largo de veinte siglos. Llov√≠an las ‘demostraciones’ de aficionados y tanto es as√≠ que en 1775, la Academia de Ciencias de Par√≠s resolvi√≥ ese a√Īo no considerar m√°s ninguna soluci√≥n a los problemas de duplicaci√≥n de cubos, trisecci√≥n de √°ngulos o cuadratura de c√≠rculos, o cualquier m√°quina anunciada como m√≥vil perpetuo. (Historia de la Real Academia de Ciencias, a√Īo 1775. Par√≠s, 1778, secci√≥n 61).

…Quia impossibile
Y aunque imposibles de resolver utilizando tan sólo regla y compás, los tres problemas bien se pueden considerar el leitmotiv de buena parte de la investigación matemática hasta el Renacimiento.

Que cada uno d√© su estimaci√≥n; el presente autor, tras haber dedicado cierta atenci√≥n a este asunto, se mojar√° afirmando que estos problemas y la b√ļsqueda de la soluci√≥n de la qu√≠ntica por radicales configuraron el panorama matem√°tico europeo hasta la aparici√≥n de Leibniz en pr√°cticamente toda su totalidad.

Pero dejando opiniones de lado, examinemos la idea de la imposibilidad. Nos centraremos en la duplicación del cubo y en la cuadratura del círculo. La idea fundamental es la siguiente:

A) dos rectas cualesquiera que pasen por dos pares de puntos con coordenadas racionales se cortan, si lo hacen, en un punto con coordenadas racionales, es decir, este punto satisface una ecuación lineal con coeficientes racionales.

B) una recta que pasa por dos puntos con coordenadas racionales corta a una circunferencia de centro y radio racional, si la corta, en dos puntos con coordenadas en general ya no racionales sino que pueden contener alg√ļn irracional cuadr√°tico (la ecuaci√≥n gen√©rica de un c√≠rculo es de grado 2).

Es decir, los puntos de corte satisfacen una ecuación de segundo grado con coeficientes racionales.

C) Dos circunferencias de centro y radio racionales se cortan, si lo hacen, en uno o dos puntos con coordenadas que pueden contener alg√ļn irracional cuadr√°tico. Es decir, los puntos de corte satisfacen una ecuaci√≥n de primer o segundo grado.

As√≠ las cosas, los puntos de intersecci√≥n de A), B) o C) satisfacen una ecuaci√≥n de grado 1 o 2. Si ahora consideramos rectas o circunferencias que pasen por esos puntos de intersecci√≥n, estos satisfar√°n ecuaciones de grado 1 o 2 no sobre los n√ļmeros racionales sino sobre una extensi√≥n de √©stos, a saber, el conjunto de todas las expresiones racionales en las coordenadas anteriores y con coeficientes racionales. Este conjunto es un cuerpo y cada elemento del mismo satisface una ecuaci√≥n de grado 1, 2 o 4 con coeficientes racionales.

La formalizaci√≥n del concepto n√ļmero constructible por regla y comp√°s se puede establecer en t√©rminos de estas extensiones: podemos definir n√ļmero real constructible como aqu√©l que verifica una ecuaci√≥n polinomial con coeficientes racionales de grado potencia de 2. As√≠ las cosas, podemos concluir inmediatamente que ra√≠z c√ļbica de 2 no es constructible, luego el Problema de Delos es irresoluble.

En cuanto a la imposibilidad de la cuadratura del c√≠rculo, qued√≥ probada en 1882 con el Teorema de Lindemann que afirma que ŌÄ no es soluci√≥n de ninguna ecuaci√≥n polinomial con coeficientes racionales, lo que en matem√°ticas se expresa diciendo que ŌÄ es trascendente. Los n√ļmeros que satisfacen alguna de estas ecuaciones, como por ejemplo ra√≠z c√ļbica de 2 se llaman algebraicos, as√≠, todo n√ļmero constructible es algebraico pero el rec√≠proco, seg√ļn acabamos de ver, no es cierto.

El origami y los tres problemas griegos
A pesar de la imposibilidad de resolverlos, es tal la fascinaci√≥n que estos problemas han suscitado durante generaciones que se han propuesto m√ļltiples variantes en su formulaci√≥n, relajando, por ejemplo, el requerimiento de usar s√≥lo regla y comp√°s, que la regla sea sin marcar o cambiando la dimensi√≥n del objeto a triplicar. Por ejemplo, la duplicaci√≥n del teseracto (cubo en dimensi√≥n 4) s√≠ es posible pues es equivalente a construir con regla y comp√°s un segmento de longitud ra√≠z cuarta de 2, que satisface una ecuaci√≥n cuyo grado es una potencia de 2 y es por tanto constructible.

Concluimos con un enfoque del que el autor ha tenido noticia recientemente y que merece se√Īalarse por su originalidad y toque art√≠stico: la cuadratura mediante el arte japon√©s de la papiroflexia u origami. Existen reglas muy precisas en cuanto a las operaciones permitidas de plegado. Son en concreto siete y nos referiremos a ellas como los axiomas de Hatori-Huzita, que las introdujeron.

Seg√ļn demuestraron Auckley y Cleveland en 1995, los cinco primeros axiomas junto al s√©ptimo son equivalentes a los requeridos para la construcci√≥n por regla y comp√°s, no as√≠ el sexto, que es equivalente a trazar una tangente com√ļn a dos par√°bolas, de la que Alperin demostr√≥ en 2001 que no es alcanzable mediante regla y comp√°s (ver ‘A mathematical theory of origami constructions and numbers’, ‘New York Journal of Mathematics’, 2000). De hecho, en el mismo art√≠culo demuestra que los tres problemas son resolubles mediante operacions de origami.

Figura 4: Duplicaci√≥n mediante origami.Por ejemplo, seg√ļn expone Antonio M. Oller en su trabajo Origami Constructions, para la duplicaci√≥n del cubo basta considerar un cuadrado de papel a cuyo lado vertical izquierdo vamos a llamar l1 y que dividiremos en tres partes iguales seg√ļn tres dobleces (o usando la regla). A la doblez superior le llamaremos l2 y a los dos puntos de intersecci√≥n de las dos otras dobleces con el lado izquierdo les llamaremos P1 y P2. Entonces, si doblamos el papel de manera que hagamos llegar P1 a l1 y P2 a l2, el cociente X/Y es precisamente la ra√≠z c√ļbica de 2, lo que se deja como ejercicio para el lector.

Iván Blanco Chacón es profesor e investigador en la Universidad de Alcalá de Henares.

El ABCdario de las Matem√°ticas es una secci√≥n que surge de la colaboraci√≥n con la Comisi√≥n de Divulgaci√≥n de la Real Sociedad Matem√°tica Espa√Īola (RSME).